Francesca Spampani

Anno accademico 2003-04 Scienze Cognitive XIX ciclo

INTELLIGENZA ARTIFICIALE E SEMANTICA: IL PROBLEMA DELL’ONNISCIENZA LOGICA

Abstract. Nel presente paper mi propongo di presentare il problema dell’onniscienza logica così come si è configurato fin dai primi lavori, dovuti ad Hintikka, sulla formalizzazione del ragionamento epistemico e doxastico e, più in generale, di mostrare se e in che misura certe idealizzazioni che caratterizzavano le logiche intensionali fondate sulla semantica a mondi possibili, siano irrealistiche e pertanto indesiderabili o se piuttosto non si tratti di conseguenze innocue di certe assunzioni, ragion per cui il problema della onniscienza logica si rivelerebbe essere un falso problema. In particolare svilupperò la seguente presentazione adottando il punto di vista proprio dell’Intelligenza Artificiale (e ancor più precisamente quello del filone noto come filone logicista dell’IA), soffermandomi su alcune delle soluzioni proposte al problema dell’onniscienza logica. Schematicamente presenterò le posizioni di due autorevoli esponenti degli studi di IA, R. Fagin e J. Y. Halpern, delineandone pregi e difetti. Infine accennerò a quello che attualmente rappresenta uno degli approcci più promettenti al problema della formalizzazione del reasoning about knowledge ovvero, l’utilizzo di logiche dinamiche in ambito epistemico.

0.1 La logica epistemica e il problema dell’onniscienza logica

Fin dai primi tentativi che sono stati fatti per modellare il ragionamento epistemico e doxastico, apparve immediatamente chiaro a tutti che i sistemi formali che si proponevano di dare una trattazione semantica adeguata dei contesti indiretti che sono espressi dalle locuzioni verbali credere che e conoscere che soffrivano di un inconveniente assai spiacevole: una profonda divergenza tra il modello proposto e il modo in cui gli esseri umani, di cui appunto si vuole modellare il modo di ragionare, effettivamente producono le loro inferenze. Una distanza che dalla maggior parte degli studiosi è stata giudicata come un problema. Si deve al logico e filosofo B. Russell l’introduzione della nozione di atteggiamento proposizionale, con la quale da allora in poi si intende indicare un atteggiamento di tipo mentale che verte su una proposizione o, più in generale, su qualunque entità possa essere descritta mediante un enunciato. Il credere e il conoscere in questo senso sono gli atteggiamenti proposizionali su cui si sono concentrati gli sforzi di numerosi studiosi appartenenti ad ambiti disciplinari diversi sebbene interconnessi: logici, filosofi, linguisti, economisti, studiosi di intelligenza artificiale. A tal proposito Fagin e Halpern sostengono: More recently, reasoning about knowledge has found applications in such diverse fields as economics, linguistics, artificial intelligence, and computer science. While researchers in these areas have tended to look to philosophy for their initial inspiration, it has also been the case that their more pragmatic concerns, which often centered around more computational issues such as the difficulty of computing knowledge, have not been treated in the philosophical literature. The commonality of concerns of researchers in all these areas has been quite remarkable. Una trattazione adeguata degli atteggiamenti proposizionali ha costituito per molto tempo, e costituisce ancora oggi, un problema di difficile risoluzione per la semantica model-teoretica di ispirazione fregeana. Essa, infatti, fondandosi sull’assunzione fortemente antipsicologista secondo la quale i significati delle espressioni linguistiche non sono entità soggettive appartenenti alla vita mentale del soggetto, bensì entità oggettive e assolute, appartenenti ad un terzo mondo, a cui spetta un terzo tipo di esistenza diversa sia da quella che caratterizza le entità mentali sia da quella che potremmo definire un’esistenza fattuale, si configura come una teoria del significato intesa come una teoria delle relazioni che sussistono tra espressioni linguistiche e stati del mondo, reali o possibili che siano, e non come una teoria della competenza linguistica dei parlanti volta ad indagare le rappresentazioni dei significati linguistici da parte dei soggetti competenti in una determinata lingua. La trattazione proposta dalla semantica model-teoretica degli atteggiamenti epistemici in termini logico-insiemistici comporta che le usuali formalizzazioni del ragionamento epistemico, che si basano su quel tipo di approccio semantico, siano caratterizzate da forti idealizzazioni a cui si fa solitamente riferimento con il nome di onniscienza logica. Le logiche epistemiche tradizionalmente si fondano sulla cosiddetta semantica a mondi possibili che altro non è se non una generalizzazione, dovuta in primo luogo a Montague, degli strumenti della semantica intensionale a mondi possibili così come è stata sviluppata da Saul Kripke per le logiche modali. Fin dagli inizi dell’interesse per quell’ambito di ricerca che va sotto il nome appunto di reasoning about knowledge, e che come abbiamo già detto risale, almeno nella sua forma più sistematica e rigorosa, ai lavori di Hintikka, le logiche della conoscenza e della credenza sono state modellate sulla base delle modalità aletiche. In tal senso la credenza e la conoscenza sono concepite in maniera analoga alla necessità. E esattamente come le logiche modali contengono tutte principi distributivi della modalità o principi di chiusura, anche le logiche epistemiche risultano compromesse con principi analoghi. Questo ha come conseguenza il fatto che le formalizzazioni proposte hanno tutte a che fare con un soggetto epistemico fortemente idealizzato il quale risulta necessitato a conoscere tutte le formule valide e tutte le conseguenze logiche delle proprie credenze (conoscenze)- in una sola parola hanno a che fare con un soggetto onnisciente che poco sembra avere in comune con i soggetti reali, con gli actual reasoners. Come hanno notato Halpern e Fagin, il fatto che simili idealizzazioni costituiscano o meno un inconveniente indesiderabile dipende innanzitutto dagli obiettivi e dalle aspettative del modello proposto come formalizzazione degli atteggiamenti epistemici. E sebbene i sostenitori dell’approccio fondato sulla semantica a mondi possibili rispondano alle critiche osservando che il soggetto di cui si propongono di modellare il comportamento è un soggetto ideale, tuttavia per la maggior parte delle applicazioni della logica epistemica in realtà si desidererebbe un tipo di logica maggiormente realistica. Ma vediamo cosa significa che una semantica come quella a mondi possibili ci obbliga ad ipotizzare un soggetto logicamente onnisciente. L’idea intuitiva che sta alla base, ad esempio, dei lavori di Hintikka consiste nel ritenere che sia possibile modellare il ragionamento epistemico associando a ciascun soggetto un insieme di mondi possibili, intuitivamente appunto, l’insieme dei mondi che il soggetto ritiene possibili in quanto compatibili con il suo sistema di credenze o conoscenze. Ad esempio, se un certo soggetto crede che a S. Francisco stia piovendo allora in tutti i mondi che sono compatibili con le sue credenze risulterà vero che a S. Francisco sta piovendo. Tuttavia il medesimo soggetto potrebbe non avere la minima idea di cosa stia accadendo a Roma, per esempio potrebbe non sapere se a Roma sta piovendo oppure no. Per cui in alcuni mondi che il soggetto ritiene possibili sarà vero che a Roma sta piovendo, mentre in altri sarà falso. Riassumendo, quindi, nella semantica a mondi possibili dire che un certo fatto, diciamo a, è creduto significa dire che esso risulta vero in tutti mondi ritenuti possibili dal soggetto. Per quanto riguarda la conoscenza, invece, dal momento che tradizionalmente si ritiene che essa debba essere identificata con la credenza vera (anche se non sempre la verit è ritenuta essere una condizione sufficiente per distinguere la credenza dalla conoscenza), occorrerà richiedere una condizione supplementare. Diremo allora che un certo fatto a è conosciuto da un certo soggetto se esso risulta vero, oltre che in tutti i mondi ritenuti possibili dal soggetto, anche nel mondo reale. Tutto ciò nella semantica dei mondi possibili si formalizza mediante una struttura che prende il nome appunto di struttura di Kripke. Essa comprende un insieme, solitamente indicato con il simbolo W, di mondi possibili, una funzione interpretazione f che associa, per ogni mondo w contenuto in W, uno ed un solo valore di verità ad ogni proposizione primitiva del linguaggio e, infine, una relazione di accessibilità tra mondi R. Per modellare la conoscenza di un soggetto, infatti, non è sufficiente conoscere il valore di verit che la funzione f assegna ad ogni proposizione primitiva in ogni mondo possibile. Anche la relazione di accessibilità tra mondi risulta cruciale. Essa è per lo più concepita come una relazione di equivalenza e, intuitivamente, la scrittura sR_{i}t deve essere interpretata nel senso che i mondi s e t sono indistinguibili per il soggetto i. Occorre osservare che se la relazione di accessibilità risulta modificabile in modo tale da rendere la logica che ne risulta più adeguata agli scopi che la formalizzazione si propone, l’adozione della semantica a mondi possibili ci forza ad accettare un assioma di distribuzione il quale ci dice che se un certo soggetto, diciamo A, crede α e crede α → β allora dobbiamo concludere che A crede anche β, e una regola di necessitazione introdotta per analogia con la regola di necessitazione assunta nelle logiche modali aletiche per la necessità, la quale implica che tutto ciò che risulta vero sia creduto. L’assioma di distribuzione e la regola di necessitazione sono di fatto i responsabili a livello di teoria della dimostrazione del fenomeno dell’onniscienza logica, nella misura in cui la seconda ci obbliga a credere tutte le formule valide e il primo a conoscere tutte le conseguenze logiche delle nostre conoscenze. La semantica a mondi possibili, quindi, costituisce sì uno strumento altamente duttile e flessibile per la formalizzazione degli atteggiamenti proposizionali come il credere e il conoscere, ma questa flessibilità è pagata a caro prezzo nella misura in cui essa sembra essere inevitabilmente compromessa con il problema dell’onniscienza logica. Qualunque siano le restrizione poste sulla relazione di accessibilità, la regola di necessitazione e lo schema di distribuzione non sono eliminabili: essi fanno parte anche del calcolo base (detto calcolo K) a partire dal quale è possibile fornire un’assiomatizzazione completa e corretta del ragionamento epistemico basata sulla semantica a mondi possibili. La causa dell’ineliminabilità della onniscienza logica risiede nel fatto che i mondi possibili attraverso i quali si modella la conoscenza o la credenza del soggetto sono completi e coerenti: la funzione f associa, per ogni mondo possibile w, uno ed un solo valore di verità a ciascuna formula atomica. Di conseguenza tutte le verità logiche sono vere in ogni mondo possibile. Quindi, dato un mondo w, qualunque sia l’insieme dei mondi accessibili a partire da esso, le verità logiche saranno vere in ciascuno di essi e, per come è stata definita la semantica degli operatori di credenza e conoscenza, esse dovranno essere conosciute da ogni soggetto epistemico. Analogamente, sempre per il fatto che i mondi sono completi e coerenti, se in tutti i mondi accessibili a partire da w risultano vere le formule α e α → β allora in ciascuno di essi risulter vera anche la formula β. E, conseguentemente, ne dobbiamo concludere che l’insieme delle conoscenze o credenze del nostro soggetto epistemico risultano chiuse rispetto all’implicazione logica. Ora l’assunzione di un soggetto onnisciente risulta indesiderabile per molti dei campi di applicazione in cui la logica epistemica si trova ad operare. Basti pensare a tutti quei campi che fanno largo uso di modelli epistemici come, ad esempio, la teoria della scelta razionale e tutta l’indagine economica ad essa connessa, la teoria della probabilità o la teoria dei giochi, in cui l’ipotesi di un soggetto completamente onnisciente appare totalmente incompatibile con la pretesa predittiva di queste teorie. In particolare però il problema dell’onniscienza logica ricevette nuovo impulso dagli studi di Intelligenza Artificiale. In questo settore della ricerca, infatti, il ragionamento di tipo epistemico presenta molteplici motivi di interesse. Oltre al problema della rappresentazione del significato degli enunciati di atteggiamento proposizionale nell’ambito dell’elaborazione del linguaggio naturale, il ragionamento sulle credenze è il concetto cardine attorno al quale ruota tutta l’indagine volta alla costruzione di modelli del comportamento di agenti artificiali che interagiscono tra loro e che quindi basano le loro azioni sulla possibilità di avere rappresentazioni delle proprie e delle altrui credenze, nonché sulla possibilità di fare inferenze su di esse. Ancora nell’elaborazione di basi di conoscenza piuttosto complesse spesso è ragionevole chiedere che il sistema sia in grado di ragionare sulle proprie conoscenze e sulle proprie capacità inferenziali. Inoltre il trattamento dell’operatore di credenza risulta implicato nella definizione dei sistemi di calcolo distribuiti e della computazione parallela. Come si può facilmente intuire il problema dell’onniscienza logica acquista un particolare interesse per le ricerche in IA dal momento che scopo di una buona parte di queste ricerche è quello di simulare le capacità inferenziali di soggetti razionali finiti, sottoposti a limiti computazionali e di risorse che non son invece prese in considerazione nelle formalizzazioni tradizionali del ragionamento epistemico. È chiaro infatti che l’assunzione di un soggetto logicamente onnisciente è del tutto inaccettabile per questo tipo di ricerche. E non solo perché una simile assunzione è del tutto irrealistica. Esiste anche un motivo tecnico per cui è desiderabile possedere modelli più attinenti alla realtà dei fatti. Le tradizionali logiche del ragionamento epistemico, infatti, presentano seri problemi dal punto di vista della trattabilità computazionale. I formalismi dei sistemi che soffrono di onniscienza logica hanno proprietà computazionali poco allettanti: anche nel caso in cui siano decidibili non sono tuttavia computazionalmente trattabili. Quindi la ricerca di logiche che formalizzino il ragionamento di soggetti dotati di capacità inferenziali più modeste si motiva anche sulla base della necessità di trovare formalismi che abbiano proprietà computazionali migliori. L’assunzione di soggetti logicamente onniscienti appare difficilmente giustificabile anche nel caso in cui ci si ponga dal punto di vista di una teoria normativa della razionalit in cui l’onniscienza logica diventa un ideale verso il quale tendere. A tal proposito Gilbert Harman dice che l’onniscienza logica non è una proprietà desiderabile nella misura in cui è controproducente per il soggetto reale ingombrare la propria mente con le infinite, e spesso triviali, conseguenze logiche delle sue credenze. Una simile capacità lo bloccherebbe all’interno di un meccanismo inferenziale che gli impedirebbe sistematicamente di passare all’azione. Ma in realtà non è necessario soffermarsi su questo tipo di motivazioni per comprendere l’implausibilità dell’onniscienza logica: è sufficiente un piccolo esperimento mentale. Se accettiamo l’idealizzazione insita nei sistemi tradizionali dobbiamo, ad esempio, concludere che chiunque conosca gli assiomi di Peano per l’aritmetica dei numeri naturali debba necessariamente conoscere anche tutti gli assiomi che ne derivano... Prima però di accennare alle soluzioni nate nell’ambito degli studi di IA, vorrei soffermarmi sull’analisi che del problema è stata proposta da R. C. Stalnaker. Questo autore, infatti, suggerisce che prima di affrontare il problema di come evitare il fenomeno dell’onniscienza logica sia necessario capire se e in che misura siano giustificate le idealizzazione che riscontriamo nei modelli della logica epistemica. Egli ne ravvisa almeno quattro che io cercherò di delineare brevemente. Un primo motivo per concedere simili idealizzazioni consiste nell’osservare che spesso esse sono necessarie per cogliere certi meccanismi sottostanti. Un comportamento piuttosto complesso infatti può essere il risultato dell’interazione di numerosi meccanismi, i quali possono essere compresi meglio se studiati in isolamento dagli altri. Nella fisica lo studio di piani in cui non esiste attrito o la considerazione di corpi senza peso sono esempi di analoghe idealizzazioni. Un altro esempio ancora di un simile modo di procedere è visibile nella distinzione chomskyana tra competenza ed esecuzione nello studio della facoltà del linguaggio. Descrivere la competenza linguistica di un soggetto libero dai limiti computazionali e di risorse, che caratterizzano invece i parlanti reali, ci consente di spiegare meglio le performances dei parlanti. Le teorie che accettano di compromettersi con certe idealizzazioni, per questo motivo, generalmente fanno leva sulla convinzione che il sistema che esse si propongono di descrivere tenda verso qualche equilibrio dal quale determinate forze esterne lo allontanano. Cito direttamente Stalnaker: Even if real systems of the kind one is studying never reach the equilibrium, the description of the ideal, equilibrium state may help to explain their behaviour. Economic theories are familiar examples of theories that idealize in this way. Applicando lo stesso tipo di ragionamento al caso dell’onniscienza logica possiamo concludere che la mancanza nei soggetti reali della capacità di dedurre tutte le conseguenze logiche delle proprie conoscenze dipenda da qualche tipo analogo di attrito. Ragion per cui è naturale ipotizzare che in assenza dei limiti computazionali l’insieme delle nostre credenze o conoscenze tenderebbe verso un qualche tipo di equilibrio in cui si realizzerebbe quella che possiamo indicare come una unbounded rationality. Una seconda motivazione per consentire idealizzazioni potrebbe essere ritrovata nella ncecessità di semplificare situazioni troppo complicate. In questo caso la distorsione che ne deriva rispetto alla realtà sarebbe il prezzo da pagare per accedere ad un modello semplificato, ma altamente intuitivo. Dice ancora Stalnaker che, sebbene noi tutti sappiamo che è ciò è falso, tuttavia in una certa misura risulta giustificabile supporre che mass is concentrated at a point, that the gravitational force between two bodies remains costant as they approach each other, that air offers no resistance [...]. Un terzo tipo di motivazione consiste nel ritenere che una certa dose di idealizzazione abbia una giustificazione di tipo normativo: qualunque sia il modo in cui effettivamente i soggetti reali traggono le loro conclusioni o disegnano le loro inferenze l’ideale dell’onniscienza logica è qualcosa cui i soggetti reali devono tendere. A questo tipo di giustificazione potremmo opporre l’argomentazione di Gilbert Harman, citato poco sopra, il quale ritiene piuttosto che si debba concepire il nostro modo di ragionare come fondato su quello che lui chiama clutter avoidance’s principle. Many trivial things are implied by one’s view which it would be worse than pointless to add to what one believes. La quarta e ultima motivazione individuata da Stalnaker come possible giustificazione per introdurre certe forme di idealizzazioni nei nostri modelli è quella che lui chiama una giustificazione pessimistica. Forse, dice Stalnaker, noi abbiamo una chiara idea di come formalizzare un concetto di conoscenza idealizzato, mentre non abbiamo la più pallida idea di come sia possibile trovare una trattazione adeguata di un tipo di ragionamento epistemico che giustifichi la mancanza di onniscienza logica. D’altronde l’assunzione di un soggetto logicamente onnisciente sembra davvero troppo irrealistica anche per la teoria semantica, anche nel caso in cui essa venga concepita come teoria che studia le relazioni astratte tra espressioni linguistiche e stati del mondo, indipendentemente dal modo in cui i soggetti arrivano ad afferrare i significati linguistici. La caratterizzazione proposta dalla semantica a mondi possibili degli atteggiamenti proposizionali in termini di insiemi di mondi sembra troppo grossolana, non permettendo di distinguere a livello semantico tra enunciati logicamente equivalenti. La chiusura rispetto all’implicazione logica, infatti, corrisponde a livello di semantica intensionale al principio che autorizza la sostituzione salva veritate di enunciati logicamente equivalenti nei contesti indiretti. Sembra infatti implausibile che si possa ritenere valida l’inferenza dell’enunciato Giorgio crede che β dall’enunciato Giorgio crede che α dove α e β sono due enunciati logicamente equivalenti. Non difficile immaginare situazioni che costituiscano un controesempio alla validità generale di una simile inferenza. Nel campo della teoria semantica simili considerazioni hanno condotto all’elaborazione di teorie di stampo cognitivo più orientate alla comprensione del fenomeno reale della comprensione. Ma torniamo all’argomento oggetto della tesina e vediamo quali soluzioni sono state proposte nell’ambito dell’ IA di ispirazione logica. La prima distinzione che possiamo tracciare è quella tra soluzioni di tipo sintattico e soluzioni di tipo semantico. Nel primo caso la via di fuga al problema dell’onniscienza logica è rinvenuta nella possibilità di descrivere il sistema di credenze del soggetto come un insieme di enunciati non necessariamente chiuso rispetto all’implicazione logica o, alternativamente, come l’insieme delle conseguenze logiche di un insieme di credenza rispetto ad un insieme incompleto di regole di deduzione. Nel caso, invece, dell’approccio semantico la soluzione consiste nell’accrescere l’insieme dei mondi possibili prendendo in considerazione anche mondi non classici che si assume possano essere incompleti e/o incoerenti. Una soluzione di questo tipo è, ad esempio, quella adottata da Levesque nella sua logica della credenza implicita ed esplicita. Entrambi gli approcci risultano per molti aspetti insoddisfacenti: quello sintattico manca dell’eleganza e della praticità di quello semantico; quello semantico, introducendo strutture non classiche, risulta assai poco intuitivo e sembra poco probabile che esso riesca a cogliere quelle che sono le nostre reali intuizioni attorno alla conoscenza e alla credenza. Una soluzione di tipo intermedio, che consiste nell’adottare mondi possibili classici sovrapponendovi una sorta di filtraggio sintattico, è rappresentata dalle logiche di Halpern e Fagin. Le loro soluzioni prendono avvio dalla osservazioni che le varie formalizzazioni proposte risultano insoddisfacenti rispetto al problema dell’onniscienza logica inteso nella sua totalità. Molte di queste soluzioni non fanno altro che spostare il problema disegnando soggetti logici onniscienti non nella logica classica, ma in qualche altro tipo di logica, oppure danno vita a sistemi formali intuitivamente poco comprensibili. L’errore consiste, secondo questi due autori, nel concepire i vari approcci come alternativi l’uno all’altro. In realtà ognuno di essi affronta il medesimo problema da diversi punti di vista. Fagin e Halpern sono convinti che il fenomeno della mancanza di onniscienza logica sia un fenomeno complesso che dipende da una molteplicità di fattori, ognuno dei quali richiede una soluzione particolare. Essi ne individuano almeno quattro. In alcuni casi può accadere che l’incapacità di certi soggetti di derivare un enunciato che segue logicamente da alcune delle loro credenze dipenda dalla mancanza di consapevolezza dei soggetti rispetto a certi concetti implicati negli enunciati in questione. I due studiosi propongono il seguente esempio a chiarificazione della loro spiegazione. Che senso può avere, dicono Halpern e Fagin, chiedere ad un membro di qualche tribù Bantu cosa ne pensa del fatto che il prezzo dei personal computer sta calando? Tipicamente, inoltre, i sistemi di logica epistemica ignorano il fatto che gli esseri umani, ben lungi dall’essere logicamente onniscienti, sono invece limitati, nel senso che spesso non dispongono delle risorse di tempo e di memoria necessarie per dedurre tutte le conseguenze logiche implicate dalle loro credenze e conoscenze. Inoltre può accadere che un certo soggetto non sappia quale regole sia necessario utilizzare nelle circostanze specifiche in cui si trova ad operare. Fagin e Halpern individuano un ultimo fattore che deve essere preso in considerazione al fine di modellare soggetti logicamente non onniscienti: gli esseri umani non sono in grado di ragionare contemporaneamente su diversi tipi di informazione. Numerosi studi di psicologia dimostrano che in questo senso la mente umana è come se fosse costituita da diversi frames, separati, e spesso anche incapaci di comunicare tra loro. Può accadere, ad esempio, che un soggetto tragga conclusioni corrette nei vari frames, ma che sia poi incapace di mettere insieme, per così dire, le conclusioni raggiunte in ciascuno di essi. Tutte queste motivazioni, nella prospettiva di Halpern e Fagin, contribuiscono a rendere implausibile l’assunzione di onniscienza logica, e ognuna di esse deve essere affrontata in isolamento dalle altre. Per questo motivo i due studiosi di IA propongono non una ma tre tipi diversi di logica della credenza, ognuna delle quali vuole costituire una risposta ad uno dei problemi messi in luce. La logica della consapevolezza si fonda sull’idea che sta alla base anche della logica della credenza implicita ed esplicita di Levesque, ma a differenza di quella evita di ricorrere a situazioni non classiche, mentre ricorre ad una funzione di consapevolezza (awareness). L’intuizione di Halpern e Fagin consiste nell’essersi resi conto che la capacità della logica di Levesque di evitare l’onniscienza logica, ottenuta mediante l’utilizzo di situazioni non classiche, dipende dal fatto che i soggetti non sempre sono consapevoli del valore di verità di certe proposizioni primitive. Essi hanno ritenuto che si potesse rendere esplicita questa circostanza utilizzando una funzione di consapevolezza la quale formalizza la possibilità che i soggetti epistemici non siano consapevoli di certe proposizioni primitive. La logica della consapevolezza generalizzata altro non è se non una generalizzazione di quella precedente nella misura in cui Fagin e Halpern non pongono alcuna restrizione sul comportamento delle funzioni di consapevolezza. Nell’ultima di queste logiche, la logica del ragionamento locale, i due autori propongono uno strumento formale per modellare la circostanza che la mente umana sia composta di cornici distinte, e ciò è ottenuto ammettendo la possibilità di credenze contraddittorie: ad ogni soggetto viene associato più di un insieme di mondi possibili, uno per ogni frames. Vediamo schematicamente quale è l’idea guida della logica della consapevolezza messa a punto da Halpern e Fagin.

0.2 Una logica della consapevolezza

La logica della consapevolezza, come dicono gli stessi Halpern e Fagin, è una generalizzazione degli strumenti della logica di Levesque, dal momento che, a differenza di questa, consente di formalizzare il ragionamento di più di un agente e di trattare contesti iterati di credenza. La logica di Halpern e Fagin mantiene anche la distinzione tra credenza esplicita e credenza implicita e, accanto a questa, numerose altre proprietà della logica di Levesque. La differenza più significativa consiste nel fatto che la logica dei nostri due autori non consente situazioni non classiche. Come nella logica della credenza implicita ed esplicita anche qui troviamo due operatori per modellare il comportamento doxastico degli agenti ma, nella misura in cui la logica di Fagin e Halpern prende in considerazione il caso con agenti multipli, il linguaggio risulta dotato di n operatori per la credenza esplicita B_{1}....B_{n} e di n operatori per la credenza implicita L_{1}....L_{n}, dove n è appunto il numero degli agenti di cui si desidera modellare il comportamento. Una struttura di Kripke per la logica della consapevolezza è una struttura così fatta: M =< S, π, A_{1}...A_{n}, B_{1}....B_{n} >, dove S è un insieme di mondi possibili, π un’assegnazione di valori di verità alle proposizioni primitive per ogni mondo s di S e B_{i} è una relazione binaria definita sull’insieme S che Fagin e Halpern definiscono seriale, transitiva ed euclidea. Si tratta della relazione di accessibilità tra mondi. Con il simbolo A_{i} indichiamo invece una funzione di consapevolezza che associa ad ogni mondo possibile un insieme di proposizioni primitive, intuitivamente A_{i}(s) sta ad indicare l’insieme delle proposizioni primitive di cui il soggetto è consapevole nel mondo s. Come abbiamo già detto nella logica di Halpern e Fagin non ci sono situazioni parziali, tutti i mondi dell’insieme S sono strutture complete. Tuttavia i nostri due autori simulano, per così dire, gli stessi effetti che si ottengono prendendo in considerazione situazioni parziali introducendo due relazioni di sostegno ⊧_{T}^{ψ} e ⊧_{F}^{ψ} relativamente a ciascun insieme ψ di proposizioni primitive. Intuitivamente il ruolo delle due relazioni di sostegno è quello di ritagliare situazioni parziali tali che la validità di una formula viene valutata solo in relazione alle proposizioni contenute nell’insieme ψ. Vediamo innanzitutto come di comportano le relazioni di sostegno appena introdotte.

• M, s ⊧_{T}^{ψ} p sse π(s, p) = 1 e p ∈ ψ dove p è una proposizione primitiva

• M, s ⊧_{F}^{ψ} p sse π(s, p) = 0 e p ∈ ψ dove p è una proposizione primitiva

• M, s ⊧ p sse π(s, p) = 1 e p è una proposizione primitiva • M, s ⊧_{T}^{ψ} ¬φ sse M, s ⊧_{F}^{ψ} φ

• M, s ⊧_{F}^{ψ} ¬φ sse M, s ⊧_{T}^{ψ} φ

• M, s ⊧ ¬φ sse M, s |̸= φ

• M, s ⊧_{T}^{ψ} φ_{1} ∧ φ_{2} sse M, s ⊧_{T}^{ψ} φ_{1} e M, s ⊧_{T}^{ψ} φ_{2}

• M, s ⊧_{F}^{ψ} φ_{1} ∧ φ_{2} sse M, s ⊧_{F}^{ψ} φ_{1} e M, s ⊧_{F}^{ψ} φ_{2}

• M, s ⊧ φ_{1} ∧ φ_{2} sse M, s ⊧ φ_{1} e M, s ⊧ φ_{2}

• M, s ⊧_{T}^{ψ} B_{i}φ sse M, t ⊧_{T}^{ψ∩A_{i}(s)} φ per ogni t tale che (s, t) ∈ B_{i}

• M, s ⊧_{F}^{ψ} B_{i}φ sse M, t ⊧_{F}^{ψ∩A_{i}(s)} φ per qualche t tale che (s, t) ∈ B_{i}

• M, s ⊧ B_{i}φ sse M, s ⊧_{T}^{Φ} B_{i}φ dove Φ è l’insieme di tutte le proposizioni primitive

• M, s ⊧_{T}^{ψ} L_{i}φ sse M, t ⊧_{T}^{ψ} φ per ogni t tale che (s, t) ∈ B_{i}

• M, s ⊧_{F}^{ψ} L_{i}φ sse M, t ⊧_{F}^{ψ} φ per qualche t tale che (s, t) ∈ B_{i}

• M, s ⊧ L_{i}φ sse M, t ⊧ φ per ogni t tale che (s, t) ∈ B_{i}

Come si può osservare la funzione di consapevolezza A_{i} entra in gioco nella regola semantica che stabilisce cosa significa che un certo mondo s, in un dato modello, M sostiene la verità o falsità di una formula in cui compare l’operatore di credenza esplicita B_{i}. E, come illustrato dalla regola che abbiamo sopra esposto, un certo mondo s si dice che sostiene la verità di una formula della forma B_{i}φ se e solo se tutti i mondi che l’agente i considera possibili a partire dal mondo s, ossia formalmente, tutti i mondi t tali che vale (s, t) ∈ B_{i} sostengono la verità della formula φ relativamente all’insieme definito come intersezione di ψ e A_{i}(s), ovvero relativamente all’insieme ψ ulteriormente ristretto all’insieme delle proposizioni atomiche di cui l’agente i è consapevole nel mondo s. La relazione di accessibilità tra mondi si definisce esattamente come nella logica classica della credenza. Accanto poi alle relazioni di sostegno, nella logica della consapevolezza troviamo definita anche una relazione di soddisfacibilità standard. In questo caso si dice che un certo mondo s in un modello M soddisfa una formula del tipo B_{i}φ se e solo se s sostiene la verità (⊧_{T}) della formula B_{i}φ relativamente all’insieme Φ di tutte le proposizione atomiche. E, per come abbiamo definito la relazione di sostegno ⊧_{T}^{ψ}, relativamente all’insieme A_{i}(s). Come abbiamo già notato la credenza implicita si distingue da quella esplicita poiché nella sua definizione non occorre la funzione di consapevolezza. Vediamo quali sono le proprietà di questa logica e a tal fine soffermiamoci sulle distinzioni introdotte dai nostri due studiosi a proposito del fenomeno dell’onniscienza logica. Come notano Fagin e Halpern, infatti, quando parliamo di agenti logicamente onniscienti intendiamo con ciò riferirci ad un insieme di proprietà formali delle logiche epistemiche che conviene tenere distinte se vogliamo arrivare ad una soluzione soddisfacente del problema. L’onniscienza logica può assumere tre forme. Quella che viene chiamata chiusura rispetto all’implicazione, e a cui abbiamo fatto accenno all’inizio del paper dicendo che se le formule ψ e ψ → φ sono credute allora anche la formula φ lo è; la chiusura rispetto all’implicazione valida per cui se ψ → φ è una formula valida e ψ è creduta anche φ lo è; infine l’onniscienza logica può configurarsi come chiusura rispetto alla validità per cui tutte le formule valide sono credute. Vediamo allora come si comporta la logica di Fagin e Halpern rispetto a queste proprietà. Osserviamo subito che la credenza esplicita in questo tipo di logica non presenta la proprietà per cui tutte le formule valide sono credute. Infatti una formula del tipo ¬B_{i}(p ∨ ¬p) è soddisfacibile. Né le credenze esplicite di un soggetto risultano chiuse rispetto all’implicazione valida, quindi una formula come B_{i}p ∧ ¬B_{i}(p ∧ (q ∨ ¬q)) è soddisfacibile. Tuttavia la logica della consapevolezza non fa uso di mondi incoerenti come la logica di Levesque per cui, a differenza di questa, la credenza esplicita degli agenti risulta chiusa rispetto all’implicazione. Per lo stesso motivo non è possibile che un certo agente i intrattenga credenze incoerenti. Una formula come B_{i}(p ∧ ¬p) non è soddisfacibile. Infine notiamo che, esattamente come nella logica di Levesque, la credenza esplicita implica quella implicita. Prima di concludere questo paragrafo puntualizziamo la relazione che sussiste tra la funzione di consapevolezza e la credenza esplicita. Interpretiamo la scrittura A_{i}p come un’abbrevazione della formula B_{i}(p ∨ ¬p). Notiamo subito che M, s ⊧ A_{i}p se e solo se p ∈ A_{i}(s). Quindi, più in generale, possiamo stabilire di indicare con il simbolo A_{i}φ la congiunzione di A_{i}p per ogni p formula primitiva che occorre in φ. Si dimostra allora ⊧ A_{i}φ ⇒ B_{i}φ. Ma, a ben vedere, la relazione che lega la funzione di consapevolezza e la credenza esplicita è ben più profonda dal momento che si può facilmente dimostrare che

⊧ B_{i}(p ∨ q) ≡ [(A_{i}p ∧ L_{i}p) ∨ (A_{i}q ∧ L_{i}q) ∨ (A_{i}p ∧ A_{i}q ∧ L_{i}(p ∨ q))]

e che

⊧ B_{i}B_{j}p ≡ (A_{i}p ∧ L_{i}(A_{j}p ∧ L_{j}p))

Ma come dobbiamo interpretare la funzione di consapevolezza? Come si concilia con le nostre intuizioni rispetto al credere? Halpern e Fagin sono consapevoli del fatto che la funzione di consapevolezza da loro introdotta si presta ad innumerevoli interpretazioni, vedendo in ciò un punto di forza della logica che si di essa si fonda. Tra le varie giustificazioni che possiamo dare per l’introduzione di questa funzione sintattica, Fagin e Halpern ne suggeriscono una che ben si attaglia alle esigenze dell’intelligenza artificiale. Possiamo infatti pensare che un certo agente i sia consapevole di un certa formula quando è in grado di computarne il valore di verità in una certa situazione e in un certo lasso di tempo e spazio. L’interpretazione proposta mostra come la logica della consapevolezza possa essere concepita come un modo per modellare le risorse computazionali di soggetti razionali ma limitati.

0.3 La logica della consapevolezza è davvero una soluzione soddisfacente?

Chiediamoci adesso cosa sia esattamente la funzione di consapevolezza. Fagin e Halpern a tal proposito affermano quanto segue: “We have not yet discussed exatly what awaraness really is, and indeed we do not intend to do so here at all. The precise interpretation we give to the notion of awareness will depend on the intended application of the logic. By placing various restrictions on the awareness function, we can capture a number of interesting distinct notions.” Ad esempio nella logica della consapevolezza generalizzata Halpern e Fagin non pongono alcune restrizione sulla funzione di consapevolezza, ottendendo così una logica della credenza in cui viene meno anche la chiusura rispetto all’implicazione. Interpretando, infatti, l’insieme A_{i}(s) come un insieme arbitrario di formule otteniamo una logica in cui l’insieme delle formule di cui il soggetto è consapevole non è più limitato alle sole formule primitive, ed è tale che può contenere sia φ che ¬φ. Nella logica della consapevolezza generalizzata possiamo allora fare a meno delle relazioni di sostegno introdotte precedentemente e definire la relazione di soddisfacibilità per gli operatori B ed L nel seguente modo:

• M, s ⊧ L_{i}φ sse M, t ⊧ φ per ogni t tale che sB_{i}t

• M, s ⊧ B_{i}φ sse φ ∈ A_{i}(s) e M, t ⊧ φ per ogni t tale che sB_{i}t

Si capisce allora come mai in questa logica l’insieme delle credenze esplicite non sia chiuso rispetto all’implicazione. È infatti possibile che il soggetto i creda φ e φ → ψ, ma non sia consapevole della formula ψ; ragion per cui il soggetto i non può credere ψ.

Nonostante la funzione consapevolezza non si presti ad essere interpretata in maniera univoca possiamo tuttavia chiederci se essa rispecchia le nostre intuizioni sulla credenza. Il motivo per cui la funzione di consapevolezza proposta da Fagin e Halpern riesce ad ovviare al problema della onniscienza logica consiste nella natura della funzione A_{i}: essa è una funzione sintattica che opera alla stregua di un meccanismo di filtraggio rispetto all’insieme delle credenze implicite (classicamente definite) di un generico agente i. L’insieme delle formule di cui un agente risulta consapevole è infatti una lista di formule. E proprio la natura sintattica della funzione consapevolezza impone che, date due formule logicamente equivalenti φ e ψ, un soggetto possa essere consapevole dell’una ma non dell’altra. Con questo tipo di logica Fagin e Halpern ritengono di aver preservato l’eleganza e la natura intuitiva dell’approccio semantico, legato all’uso della semantica a mondi possibili, e di essere riusciti ad ovviare al problema dell’onniscienza logica aggiungendo alla caratterizzazione semantica un requisito sintattico. Chiediamoci allora se veramente la logica della consapevolezza consenta di liberarci delle idealizzazione indesiderabili imposte dall’approccio semantico alla logica della credenza e della conoscenza. Come è stato notato l’approccio di Fagin e Halpern, in realtà, non sfugge al problema dal momento che gli agenti all’interno della loro logica risultano onniscienti, sia pur rispetto ad un insieme ristretto di formule. Dunque sembra che il problema sia semplicemente stato spostato su di un altro piano ma non eliminato. Inoltre il sistema di Fagin e Halpern non sembra offrire una facile giustificazione dal punto di vista intuitivo. Come infatti dovremmo interpretare il sistema di filtraggio sintattico rappresentato dalla funzione consapevolezza? I sostenitori di questo tipo di logica osservano come la nozione di consapevolezza, essendo una nozione psicologica, consenta di prendere in considerazione, formalizzandoli, aspetti del reasoning about knowledge and belief fino ad ora ignorati a discapito della plausibilità del modello. La funzione di consapevolezza, secondo costoro, consente di tenere in giusta considerazione tutti i limiti che caratterizzano il ragionamento umano reale come, ad esempio, i limiti di memoria, l’incapacità di processare tipi diversi di informazione, oppure consentendo di formalizzare un tipo di ragionamento che sembra rispecchiare la suddivisione, tanto spesso ipotizzata nell’ambito delle neuroscienze, della mente umana in moduli distinti e non sempre comunicanti tra loro. In più l’apparato logico di questo tipo di approccio risulta molto flessibile, consentendo ad esempio di aggiungervi la considerazione del tempo, e costruendo in tal modo una logica che ci permette di formalizzare il modo in cui le nostre credenze o conoscenze mutano con il passare di esso. D’altronde i critici di questo tipo di approccio fanno notare che due sono le possibili interpretazioni che possono essere date della funzione di consapevolezza, e nessuna delle due sembra esente da problemi. Infatti, o ammettiamo che il soggeto descritto dalla logica di Halpern e Fagin deduca tutte le conseguenze logiche delle sue credenze per poi scartare quelle che non rientrano nel suo insieme consapevolezza, oppure ammettiamo che la funzione consapevolezza faccia piuttosto riferimento al sistema deduttivo di cui dispone il soggetto. La prima interpretazione rivela immediatamente la sua inadeguatezza non facendo altro che riproporre l’esistenza di un soggetto perfettamente onnisciente. Secondo l’altra interpretazione, invece, il soggetto esclude tra le possibili vie argomentative a sua disposizone quelle che non cadono nell’insieme consapevolezza abbandonando così i panni di un perfect reasoner. Tuttavia, come ha notato Konolige, gli stessi risultati si possono ottenere ricorrendo ad una caratterizzazione sintattica al posto di quella fondata sulla semantica dei mondi possibili, concludendo che, aggiungendo una nozione sintattica ad un approccio altrimenti semantico, si ottiene una logica che “is no more powerful than current sentential logics, and can be re-expressed in terms of them”.

0.4 Agenti razionali ma non onniscienti: dynamic epistemic logic

Concluderò il paper accennando ad un altro tipo di soluzione recentemente proposta ed investigata, evitando questa volta i dettagli tecnici. Si tratta di un tipo di approccio che parte dalla constatazione del fatto che, solitamente, quando si affronta il problema dell’onniscienze logica si pensa di poter trovare una soluzione nell’indebolimento dell’apparato assiomatico o deduttivo della logica epistemica standard. Raramente però ci si sofferma a pensare cosa di fatto rimanga una volta che si siano limitate le capacità di ragionamento dei soggetti. Certo la strategia di indebolire le capacità deduttive dei soggetti epistemici ha il pregio di evitare il sorgere dell’onniscienza logica, consentendo di classificare i vari soggetti sulla base del loro grado di razionalità. Avremo, da una parte, soggetti ideali il cui modo di ragionare trova una descrizione adeguata nel sistema base della logica epistemica, il sistema K, il quale soffre già del probema dell’onniscienza logica, dall’altra, soggetti le cui capacità inferenziali sono più adeguatamente descritte da logiche intermedie tra il sistema K e quello ottenuto indebolendo K mediante l’eliminazione della regola di necessitazione. La strategia di indebilire la logica epistemica, come abbiamo già visto, non elimina tutti i problemi e per molti aspetti non rappresenta una soluzione soddisfacente del problema. Prima di tutto perché, anche se vogliamo evitare il fenomeno dell’onniscienza logica, tuttavia vogliamo ancora possedere un sistema logico sufficientmente forte da permetterci di formalizzare certe regolarità osservabili del ragionamento umano. Una soluzione al dilemma è stata individuata da più parti nel ricorso ad una logica dinamica. Il punto di partenza di questo tipo di logica è rappresentato dalla constatazione che le leggi logiche, rispetto alle quali risulta chiuso l’insieme delle credenze di un soggetto, non ci dicono niente del mondo. Quindi, quando diciamo che il sistema di credenze di un soggetto risulta chiuso rispetto ad esse, intendiamo dire che il soggetto può ricorrere ad esse al momento opportuno per trarne conclusioni sul mondo. Non sarà necessario ipotizzare che un soggetto disponga sempre di tutte le leggi logiche, piuttosto è sensato credere che ad ogni momento l’insieme di queste leggi sia incompleto, e così anche l’insieme delle conseguenze logiche di ciò che il soggetto effettivamente conosce o crede. L’idea intuitiva che sta alla base delle logiche dinamiche per la credenza consiste nel trovare un modo per formalizzare adeguatamente l’intuizione che possedere una regola non significa automaticamente possedere le conclusioni raggiungibili mediante essa. Sia R una regola qualunque. Nell’approccio standard affermare che il soggetto i accetta e usa R significa introdurre un assioma il quale assicura che, se il soggetto crede le premesse della regola, allora necessariamente anche la conclusione di quella regola è oggetto di credenza da parte del soggetto i. Nelle logiche dinamiche si mette in dubbio proprio questo passaggio facendo notare che, se il soggetto conosce le premesse della regola e se esegue l’inferenza descritta dalla regola corrispondente, allora crede anche la conclusione. Quindi il passaggio alla conclusione non è più automatico, ma vincolato all’esecuzione dell’azione mentale corrispondente alla regola. Facciamo un semplice esempio nel tentativo di illustrare l’intuizione che sta dietro l’idea guida di questo tipo di approccio. Il primo passo consiste nell’arricchire il nostro linguaggio in modo da rendere possibile le formule [R_{i}]B_{i}φ e ⟨R_{i}⟩B_{i}φ, le quali, intuitivamente, affermano rispettivamente che, sempre o talvolta, dopo aver effettuato l’azione descritta da R il soggetto i crede φ. Ad esempio dire che il soggetto accetta il modus ponens significa accettare il seguente assioma:

B_{i}φ ∧ B_{i}(φ → ψ) → ⟨MP_{i}⟩B_{i}ψ

. In questa sede eviterò di presentare i sistemi assiomatici proposti nell’ambito delle logiche epistemiche dinamiche soffermandomi piuttosto, ancora una volta, sull’idea che ne costituisce la base. Secondo i sostenitori di questo tipo di approccio il vantaggio di introdurre la formalizzazione degli aspetti dinamici del ragionamento umano consiste nel fatto che essa ci consente di evitare il dilemma tra agenti logicamente onnisciente e agenti logicamente ignoranti.

L’apparato logico a cui abbiamo fatto accenno, infatti, ci consente di render conto, all’interno di uno stesso sistema, di vari tipi di situazioni inferenziali. Non dobbiamo, infatti, più ammettere che ad ogni istante l’insieme delle credenze attuali del soggetto epistemico sia chiuso rispetto a tutte le leggi logiche. Né, d’altronde, siamo necessitati ad ipotizzare che il nostro soggetto i sia così ignorante da non conoscerne neppure una. Il sistema di credenze del soggetto in questo tipo di logiche non risulta predeterminato da un insieme artificiale di assiomi. Piuttosto saranno possibili varie situazioni. Supponendo che disponga delle risorse di tempo necessarie e che sia in grado di eseguire le azioni corrispondenti a tutte le regole ammesse dal sistema, dovremo concludere che il nostro soggetto è capace di dedurre tutte le conoscenze o credenze implicite nei fatti che conosce. Il fatto che nessun soggetto reale raggiunga mai questa condizione non inficia la capacità del sistema logico di descrivere adeguatamente le capacità inferenziali dei soggetti reali. Concludo facendo notare come questo tipo di studi rappresenti un settore di ricerca di fondamentale importanza per l’IA. Un settore della ricerca logica oggi molto promettente è, infatti, quello che si propone di formalizzare l’aspetto dinamico del ragionamento non-monotono. Una logica nonmonotona ci mette in grado di trattare formalmente le capacità inferenziali di soggetti che possono rivedere le loro credenze o conosenze alla luce dell’acquisizione di nuova informazione. Inutile sottolineare l’importanza di questo tipo di ricerche tanto per l’IA quanto per lo studio delle interazioni strategiche in campo economico all’interno della teoria dei giochi.